NumPy 线性代数库

NumPy 提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了线性代数所需的所有功能，使用这个模块计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等。常用函数如下：

numpy.dot()

对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)

对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积

对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a 的最后一维上的所有元素与数组b 的倒数第二维上的所有元素的乘积和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。即是a 的最后一个轴上的和与b 的倒数第二个轴的乘积。

numpy.dot(a, b, out=None) 

参数说明：

• a : ndarray 数组
• b : ndarray 数组
• out : ndarray, 可选，用来保存dot() 的计算结果

import numpy as np

a = np.array([[1,2],[3,4]])
b = np.array([[11,12],[13,14]])

print(np.dot(a,b)) # [[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]
# [[37 40]
#  [85 92]]

numpy.vdot()

该函数计算两个向量的点积。 如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。 如果参数是多维数组，会被展开。

import numpy as np

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[11, 12], [13, 14]])

# vdot 将数组展开计算内积
print(np.vdot(a, b)) # 1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

numpy.inner()

numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。

import numpy as np

print(np.inner(np.array([1, 2, 3]), np.array([0, 1, 0])))
# 等价于 1*0+2*1+3*0 = 2

多维数组的情形

import numpy as np

# 多维数组
a = np.array([[1, 2], [3, 4]])

print('数组 a：')
print(a)

b = np.array([[11, 12], [13, 14]])
print('数组 b：')
print(b)

print('内积：')
print(np.inner(a, b))
# 数组 a：
# [[1 2]
#  [3 4]]
# 数组 b：
# [[11 12]
#  [13 14]]
# 内积：
# [[35 41]
#  [81 95]]
# 1*11+2*12, 1*13+2*14 
# 3*11+4*12, 3*13+4*14

numpy.matmul

numpy.matmul 函数返回两个数组的矩阵乘积。 虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维数大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播。

另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除。

对于二维数组，它就是矩阵乘法

import numpy as np

a = [[1, 0], [0, 1]]
b = [[4, 1], [2, 2]]
print(np.matmul(a, b))
# [[4 1]
#  [2 2]]

# 二维和一维运算
a = [[1,0],[0,1]]
b = [1,2]
print (np.matmul(a,b)) # [1 2]
print (np.matmul(b,a)) # [1 2]

# 维度大于二的数组
a = np.arange(8).reshape(2,2,2)
b = np.arange(4).reshape(2,2)
print (np.matmul(a,b))
# [[[ 2  3]
#   [ 6 11]]
#
#  [[10 19]
#   [14 27]]]

numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。

行列式从方阵的对角元素计算。 对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。

对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。

import numpy as np

a = np.array([[3, 2], [3, 9]])
print(np.linalg.det(a)) # 21.0

b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]])
print (b)
# [[ 6  1  1]
#  [ 4 -2  5]
#  [ 2  8  7]]

print (np.linalg.det(b)) # -306.0
print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2)) # -306

numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve() 函数给出了矩阵形式的线性方程的解。

线性方程：

• x + y + z = 6
• 2y + 5z = -4
• 2x + 5y - z = 27

使用矩阵表示为

如果设矩阵成为A、X和B，方程变为：

AX = B 或 X = A^(-1)B

numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv() 函数计算矩阵的逆矩阵。

逆矩阵（inverse matrix）：设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

import numpy as np

x = np.array([[1, 2], [3, 5]])
y = np.linalg.inv(x)

print(x)
# [[1 2]
#  [3 5]]

print(y)
# [[-5.  2.]
#  [ 3. -1.]]

print(np.dot(x, y))
# [[1.00000000e+00 2.22044605e-16]
#  [0.00000000e+00 1.00000000e+00]]

矩阵的逆矩阵

import numpy as np

a = np.array([[1, 1, 1], [0, 2, 5], [2, 5, -1]])

print('数组 a：')
print(a)
ainv = np.linalg.inv(a)

print('a 的逆：')
print(ainv)

print('矩阵 b：')
b = np.array([[6], [-4], [27]])
print(b)

print('计算：A^(-1)B：')
x = np.linalg.solve(a, b)
print(x)
# 这就是线性方程 x = 5, y = 3, z = -2 的解
# 数组 a：
# [[ 1  1  1]
#  [ 0  2  5]
#  [ 2  5 -1]]
# a 的逆：
# [[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
#  [-0.47619048  0.14285714  0.23809524]
#  [ 0.19047619  0.14285714 -0.0952381 ]]
# 矩阵 b：
# [[ 6]
#  [-4]
#  [27]]
# 计算：A^(-1)B：
# [[ 5.]
#  [ 3.]
#  [-2.]]