Tensorflow框架教程 - 范数（线性代数）

矩阵进阶 - 范数

范数（norm）

不管是一个向量，还是一个矩阵，我们在机器学习中都经常需要有一个对于它们大小的度量。
对于向量的度量，就是欧基里得距离，即所有的值的平方的和的平方根。

我们用ord='euclidean'的参数来调用tf.norm来求欧基里得范数。
例：

>>> a2 = tf.constant([1,2,3,4],dtype=tf.float32)
>>> sess.run(tf.norm(a2, ord='euclidean'))
5.477226

用sqrt计算：

>>> np.sqrt(1*1+2*2+3*3+4*4)

将向量的范数推广到矩阵。还是求平方和的平方根。

>>> a3 = tf.constant([[1,2],[3,4]],dtype=tf.float32)
>>> a3
'Const_34:0' shape=(2, 2) dtype=float32>
>>> sess.run(a3)
array([[1., 2.],
       [3., 4.]], dtype=float32)

>>> sess.run(tf.norm(a3,ord=2))
5.477226

矩阵的范数叫Frobenius范数。

范数的定义
欧几里得范数和Frobenius范数只是范数的特例。更一般地，范数的定义如下：
∥x∥p=(∑i|xi|p)1p
其中，p∈R,p≥1
范数本质上是将向量映射到非负值的函数。当p=2时，L2范数称为欧几里得范数。因为在机器学习中用得太多了，一般就将∥x∥2简写成∥x∥。

范数是满足下列性质的任意函数：

1. f(x)=0⇒x=0
2. f(x+y)≤f(x)+f(y) (这条被称为三角不等式, triangle inequality)
3. ∀α∈R,f(αx)=|α|f(x)

范数的推广

除了L2范数之外，在机器学习中还常用L1范数，就是所有元素的绝对值的和。

有时候，我们只想计算向量或者矩阵中有多少个元素，这个元素个数也被称为L0范数。但是，这种叫法是不科学的，因为不符合上面三条定义中的第三条。一般建议还是使用L1范数。

我们来看下L1范数的例子：

>>> sess.run(tf.norm(a3,ord=1))

另外，还有一个范数是L∞范数，也称为最大范数（max norm). 最大范数表示向量中具有最大幅值的元素的绝对值。

我们可以用ord=np.inf的参数来求最大范数。

>>> sess.run(tf.norm(a3,ord=np.inf))

4.0

范数与赋范空间

定义1 向量范数：设V是数域F上的线性空间，且对于V的任一个向量x，对应一个非负实数∥x∥，满足以下条件：

1. 正定性：∥x∥≥0, ∥x∥=0当且仅当x=0
2. 齐次性：∥αx∥=|α|∥x∥,a∈F
3. 三角不等式：对任意x,y∈V，都有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥，则称∥x∥为向量x的范数，[V;∥⋅∥]为赋范空间。

定义2 矩阵范数：设A∈Cm×n，对每一个A，如果对应着一个实函数N(A)，记为∥A∥，它满足以下条件

1. 非负性：∥A∥≥0, 正定性：A=Om×n⇔∥A∥=0
2. 齐次性：∥αA∥=|α|∥A∥,α∈C
3. 三角不等式: ∥A+B∥≤∥A∥∥B∥,∀B∈Cm×n,则称N(A)=∥A∥为A的广义矩阵范数。进一步，若对Cm×n,Cn×l,Cm×l上的同类广义矩阵范数∥⋅∥，有下面的结论：
4. （矩阵乘法的）相容性：∥AB∥≤∥A∥∥B∥,B∈Cn×l,则称N(A)=∥A∥为A的矩阵范数。